यदि A, B, C, D अंतरिक्ष में कोई भी चार बिंदु | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $A$ मूल बिंदु है और $B, C$ तथा $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ हैं।तब $\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrig

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$4$

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(B) मान लीजिए $A$ मूल बिंदु है और $B, C$ तथा $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ हैं।तब $\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}, \overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}, \overrightarrow{AD} = \vec{d}, \overrightarrow{CA} = -\vec{c},$ और $\overrightarrow{BD} = \vec{d} - \vec{b}$ होगा।अब, व्यंजक पर विचार करें:$|\overrightarrow{AB} 	imes \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} 	imes \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} 	imes \overrightarrow{BD}|$$= |\vec{b} 	imes (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{b}) 	imes \vec{d} - \vec{c} 	imes (\vec{d} - \vec{b})|$$= |\vec{b} 	imes \vec{d} - \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{d} - \vec{b} 	imes \vec{d} - \vec{c} 	imes \vec{d} + \vec{c} 	imes \vec{b}|$$= |-\vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{b}|$$= |-\vec{b} 	imes \vec{c} - \vec{b} 	imes \vec{c}| = |-2(\vec{b} 	imes \vec{c})| = 2|\vec{b} 	imes \vec{c}|$चूंकि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}|\vec{b} 	imes \vec{c}|$ है, इसलिए $|\vec{b} 	imes \vec{c}| = 2\Delta$ होगा।अतः, व्यंजक का मान $2(2\Delta) = 4\Delta$ है।

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यदि $2\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है,तो $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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